В 1958 году был направлен на учёбу в Высшие специальные офицерские классы в город Ленинград на командный факультет подводников. После окончания классов в 1959 году был назначен командиром своей же подводной лодки С-276 Северного флота в посёлок Гремиха. В период командования подводной лодкой наиболее значимыми событиями были женитьба и завоевание переходящего приза Главнокомандующего ВМФ за торпедную стрельбу.

В 1963 году поступил в Военно-Морскую академию в городе Ленинграде на командный факультет. Однако в 1964 году без согласия с его стороны был переведён в группу разведывательной специализации. Для неё отобрали лучших, элиту ВМФ – всего четырёх офицеров. В их числе оказался и Ю.П. Квятковский. Академию закончил в 1966 году по специальности командно-штабной оперативно-тактической и был назначен старшим офицером Разведки Военно-Морского Флота в Главный штаб ВМФ в Москве. В 1971 году стал заместителем начальника отдела Разведывательного управления Главного штаба ВМФ.

В 1972 году был направлен на учёбу в Военную академию Генерального штаба Вооружённых Сил СССР, по окончании которой в 1974 году был назначен начальником отдела Разведывательного управления Главного штаба ВМФ. Наиболее значимым в этот период было участие в составе групп руководства практически во всех учениях, проводимых под руководством Главнокомандующего ВМФ, а также в учениях под руководством Министра Обороны и Начальника Генерального штаба, когда привлекались штабы и силы Военно-Морского Флота. В ноябре 1978 года был назначен заместителем начальника, а в январе 1979 года – начальником разведки Северного флота, заместителем начальника штаба Северного флота в городе Североморске.

В 1981 году Ю.П. Квятковский получил звание контр-адмирала, а в 1985 году его перевели в Военную академию Генерального штаба на должность старшего преподавателя кафедры оперативного искусства ВМФ. Относительно быстро он переключился на новую работу – осваивал новую для себя профессию преподавателя и научного работника, начал работать над кандидатской диссертацией…

Все изменилось в 1987 году после звонка начальника Главного штаба Военно-Морского флота адмирала К.В. Макарова, который предложил Ю.П. Квятковскому вернуться в разведку на должность начальника разведывательного управления Главного штаба ВМФ – заместителя начальника Главного штаба ВМФ по разведке. Так, вплоть до 1992 года Ю.П. Квятковский возглавлял столь важный участок обороны страны. В период распада СССР под его руководством были сохранены основные силы и средства военно-морской разведки.

В 1992 году после увольнения из рядов ВМФ в звании вице-адмирала без какого-либо перерыва стал работать директором научно-производственного предприятия. В апреле 1994 года перешёл на должность заместителя директора Российского государственного морского историко-культурного центра при Правительстве Российской Федерации (Морского центра), а в апреле 1996 года на должность первого заместителя директора. Морской центр координировал в стране подготовку и проведение празднования 300-летия Российского флота. В этот период при непосредственном участии Ю.П. Квятковского проведено более 6 тысяч юбилейных мероприятий в городах, селах, воинских частях от Калининграда до Камчатки, от Мурманска до Сочи и Алтая. Открыто множество новых и отреставрировано более 350 памятников, связанных с историей флота, издано более 200 научно-исторических, мемуарных и художественных книг, более 30 кинофильмов, развернуто более 150 новых исторических флотских экспозиций, учреждена государственная юбилейная медаль «300 лет Российскому флоту».

В 1997 году, после преобразования Морского центра в Российский государственный военный историко-культурный центр при Правительстве РФ Ю.П. Квятковский назначен его директором.  К 2001 году Росвоенцентром совместно с рядом федеральных министерств и ведомств, Администраций многих регионов страны была подготовлена и 16 февраля 2001 года Постановлением Правительства РФ принята государственная программа «Патриотическое воспитание граждан Российской Федерации на 2001–2005 годы». Росвоенцентр был одним из ведущих разработчиков и головных исполнителей этой программы. В 2004–2005 годах был подготовил проект государственной программы «Патриотическое воспитание граждан Российской Федерации на 2006–2010 годы», которая 11 июля 2005 года была утверждена Постановлением Правительства РФ. На Росвоенцентр возложено организационное сопровождение реализации этой программы.

В ходе её реализации Росвоенцентр проводит, в том числе совместно с федеральными министерствами и ведомствами, Администрациями субъектов РФ, РОСТО, ведущими общественными, ветеранскими, творческими и молодежными организациями Всероссийские и региональные конференции по актуальным вопросам организации патриотического воспитания граждан, мероприятия, посвященные памятным датам и событиям военной истории России, Всероссийские ежегодные журналистские конкурсы патриотической тематики, активное участие в которых всегда принимают представители Движения «Россия Православная».

В настоящее время Росвоенцентр с функциями головного исполнителя осуществляет организационное сопровождение третьей  государственной программы «Патриотическое воспитание граждан Российской Федерации на 2011-2015 годы».

В рамках решения задач патриотического воспитания граждан и в соответствии с постановлением Правительства Российской Федерации от 13 ноября 2006 г. № 677 Росвоенцентром учреждены почетный знак «За активную работу по патриотическому воспитанию граждан Российской Федерации» – для награждения органов и организаций  и памятная медаль «Патриот России» – для вручения наиболее активным организаторам патриотического воспитания. Этими наградами не раз были удостоены участники Общероссийского общественного движения «Россия Православная».

В честь 65-летия Великой Победы коллектив Российского государственного военного историко-культурного центра при Правительстве РФ был награжден памятной медалью Российского организационного комитета «Победа».

Решением Президиума Российской академии естественных наук за военно-исторические разработки в 1999 году вице-адмиралу Ю.П. Квятковскому присвоено звание «Почетный профессор РАЕН». За многолетний труд на благо страны Юрий Петрович награжден двумя орденами Красной Звезды, орденом "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени и многими медалями. Ему объявлена Благодарность Председателя Правительства Российской Федерации.

Юрий Петрович Квятковский – редактор многих изданий военно-патриотической направленности, автор биографической книги  "Мы вместе служили флоту"

В 2011 году Юрий Петрович Квятковский отмечает восьмидесятилетний юбилей. Многогранный трудовой путь, пройденный вице-адмиралом, – образец беззаветного служения Отчизне как с оружием в руках в рядах Вооружённых сил, так в решении не менее важных задач в жизни страны: патриотического, военно-исторического и мемориального характера.